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怎样学好数学:中国孩子学数学时常见的“数感”缺乏症

导读:看点中国数学教育中最为家长诟病的一点,就是“套路”,重复性的刷题套路、解题套路,训练出擅长计算却没有什么数学思维的学生。尤其在低龄阶段,我们在“数感”方面的启蒙,落后很多

中国数学教育中最为家长诟病的一点,就是“套路”,重复性的刷题套路、解题套路,训练出擅长计算却没有什么数学思维的学生。尤其在低龄阶段,我们在“数感”方面的启蒙,落后很多国外同年龄的孩子。夏骏轶老师深谙美国数学教育体系,目前在沪上一家机构担任思维数学教研总监,他将儿童数学教育问题直指数学语言的忽视。我们传统教育模式是以自然语言传授为核心基底,但数学语言是另一种逻辑和体系,在孩子低龄阶段,应该帮助孩子建立直接的数学概念,同时重视逻辑思维和表达。


  

  记得小时候,数学老师跟我们讲解应用题,讲着讲着蹦出一句:“所以啊,语文很重要!学好语文,才能学好数学!”

  对于数学老师的这一番谆谆教导,长久以来,我内心一直是一团迷糊,数学注重思维,语文侧重表达,数学推崇理性,语文追求感受,缘何说学好语文才能学好数学呢?

  比如我读《小石潭记》:

  “从小丘西行百二十步,隔篁竹,闻水声,如鸣佩环,心乐之。伐竹取道,下见小潭,水尤清冽。全石以为底,近岸,卷石底以出,为坻,为屿,为嵁,为岩。青树翠蔓,蒙络摇缀,参差披拂……”

  我们总不能说“西行百二十步”这一句,能启示我们进行步幅测量,进而理解非标准单位?也不能说作者移步换形、依序写景的写法从另一个侧面阐述了数学排列规律,“为坻,为屿,为嵁,为岩”就是“AB,AC,AD,AE”的模式?

  如此解读,文章支离破碎,了无生趣,数学概念也让人感觉怪怪的,数学与语文似乎是风马牛不相及的两个方面。

  但是反过来说,我们数学课本中大量的概念、定理、应用、解法运用了文字来表述,老师课堂授课也都是用语言,小学阶段的数学考试中,文字呈现的应用题又是重中之重。这一切都显示着语文和数学之间千丝万缕的关系。

  而真正让我们觉得困惑的,在于数学课本上的文字和老师课堂上语言描述的内容,对一部分人来说,简直就是天书和外星语——拆开看,每一个字都认识,合在一起,就不知道是什么意思了,特别是考试的时候。

  那么,这到底是怎么一回事呢?我们的孩子在数学思维启蒙的时候,又需要怎样的语言体系支持呢?今天就来和大家闲聊一下数学、思维和语言中,那些让人疑惑的事情:

  语言,帮助我们启动思维

  语言,是人类安装的第一项大脑升级软件,重要性不言而喻。长久以来,我们都把语言定位在交流工具上,用语言表达情感、呈现美学(诗歌)、传递意愿、建立社交关系。但是同时,我们也使用语言来表达思想,传递想法,这就为语言拓展出了思维向的工具效能。

  我相信大家都遇到过这种情况——当需要思索一件事情,我们有时会情不自禁地喃喃自语。

  我身边有很多朋友,常常开玩笑说他们是“脑袋长在嘴上”。也就是说,他们需要通过讲话来启动他们的思维。其实这并不仅仅是一句玩笑,运用语言启动思考,是人类发明出来的思维策略。

  语言运作的本质是大脑运作,语言启动了我们的左侧大脑,而左侧大脑主要负责理性思维,当我们听见自己对问题叙述的声音时,会更容易进入深层次的反思,也就是所谓的“元认知”。

  

元认知(Metacognition)就是对认知的认知,该词最早出现在美国儿童心理学家弗拉威尔(J. H. Flavell)于1976年出版的《认知发展》一书中。

  元认知就是对认知的认知,具体地说,是关于个人自己认知过程的知识和调节这些过程的能力。对思维和学习活动的知识和控制,是一种高级思维策略。

  孩子们的元认知早在3-4岁就开始萌芽,一直要到成年以后才日臻成熟。

  所以如果我们的孩子出现情绪波动(右侧大脑),可以让孩子说一下他们遭遇的情景。通过这样语言激发,可以让他们启动左侧脑的理性思维,进而平复情绪问题。

  我们可以发现孩子有时常常会自言自语说一件事情,或者一个人玩过家家的游戏,这或许是出于语言模仿和练习的需求,但同样也是思维的启动,甚至带有自我疗愈性质。

  数学思维能力跟语言本身无关

  科学的研判往往和我们天然的感觉相反。关于语言推动数学思维的观点有两种:

  其一是认为数学能力是由语言能力分化出来的。比如美国著名认知神经科学家诺姆·乔姆斯基(Noam Chomsky),他认为,“语言处理的抽象化是数学能力的起源

  然而这种说法遭到许多数学家和物理学家的反对,著名物理学家爱因斯坦就说过:“文字和语言,不管是书面的还是口头的,似乎在我的思考过程中不起任何作用。”

  工作的关系,我遇到过一些有数学天赋的孩子,比如小学阶段就开始自学高中甚至大学的数学内容,另外对物理、哲学都比较感兴趣,但是他们中的有些人语言表达能力就相对弱了很多,嘴笨,对文学作品也不热衷。

  最近,认知神经科学家们提出了一个与语言假说相对的观点,并得到许多数学家的支持。此观点认为数学是由对空间、时间以及数字的非语言的直觉产生的,这种直觉在人类演化的早期就已形成,比如“数感”

  数感是什么呢?数感其实是一种对最基本的数字大小和数量多少的感知能力,它是通过处理和解决我们日常生活中的具体问题而培养起来的。通过数感,成人、儿童,甚至婴儿不需要借助数数或数字符号即可对事物的数量进行理解和表达,所以被称为“更高级数学能力的基石”

  脑科学的研究也用事实支持了这一观点,数学思维激活的大脑区域和语言区域并不同步和重叠。法国NeuroSpin中心认知神经影像部门的研究表明,我们在处理数学问题的时候,相比处理其他问题时调用了更少的语言区域,所以数学能力是独立于语言能力的一项抽象能力。

  孩子数学不好,有可能是因为听不懂语言背后的数学含义

  随着人类认知研究的不断深入,使得教育模式面临从所未有的挑战和机遇,并且变得越来越不可避免。

  接着上面的话题,大家都知道,传统教育模式是以语言传授为核心基底的,千百年来我们都是老师讲,学生听。现在我们竟然发现,在我们大脑的认知结构中,数学和语言是平行运转的系统,那意味着什么?

  这意味着,当我们用语言对孩子“讲解”数学知识时,当孩子在聆听数学问题时,他们大脑中第一时间启动的并不是数学模块,这就很容易造成“看是要看见,却不明白,听是要听见,却不晓得”的奇特现象。

  难怪蒙台梭利女士会说:说得越少,教得越好。转而主张用教具让孩子理解数关系和建立数概念。

  这同样也解释了,很多时候我们家长在家里辅导孩子,说了一遍又一遍,孩子还是不懂。因为,一方面语言并不能天然启动我们的数学思考模式,另一方面家长也不知道如何运用语言的技巧,引导孩子孩子进入数学思考模式。

  举一个例子:

  比如:我们虽然已经反复跟孩子说:“先乘除后加减”,可是孩子一做题,常常还是“6+4×3=10×3”,是孩子没记住口诀吗?并不是。

  造成错误的大多数情况,是孩子根本不理解这句话背后的数学含义,以及在什么条件下使用这句话。除非孩子在心里(大脑的数学认知区里)琢磨明白其中的数学关系,才能够真正掌握这项原则,只搞懂语言表面的意思,并不代表理解了数学本质。

  语言是一把钥匙

  聊到这里,大家可能要说,一方面,语言是教学的主要媒介,教师用语言进行启发、讲解;教材用文字组织,学生必须感知语言性刺激、借助理解进行学习,语言是我们学习数学绕不过的坎。

  另一方面,语言和数学之间没有天然的促进作用,我们又该如何才能引导我们的孩子,进入到数学思维的这扇大门中呢?

  就拿上面的那个错题举例,我们如何用语言解释给孩子听,使得他们可以启动数学思考?以下列出一种可能的方法,供大家参考。

  ? 重述问题,阐明现场,回溯原理

  6+4×3是什么意思?是6加上4×3,还是先做6+4,再乘以3?这时候的孩子只要提一下“先乘除后加减”,基本都能明白过来。

  ? 分解问题,指出关键,营造冲突:

  4×3是什么意思?4×3就是3个4连加,也就是4+4+4(这一步非常重要,很多孩子没有搞清楚乘法的本质,导致之后的一系列错误)。

  然后可以问孩子一个问题:6+4+4+4是否等于10+10+10?结果是显而易见的。

  ? 转换视角,呈现矛盾,厘清真相:

  然后我们就可以列出变化的等式,并进行计算:6+4×3=6+4+4+4,而6+4+4+4≠10+10+10≠10×3;当我们把一个略显复杂的算式还原成基础状况,我们其实是引导孩子进行了一次数学的探索。

  在这一场“冒险”中,孩子经历了从加法变成乘法的简化抽象历程,这时候向孩子揭示6+4×3=10×3的错谬性,并再一次回到“先乘除后加减”口诀上,孩子就更容易理解口诀背后的内在逻辑,方便进入数学思考之中。

  在这个过程中,主要把握的是如何通过语言呈现数学关系的结构,我把这个称之为“用语言给孩子搭建的思维台阶”。

  所以,我的一个小小结论——语言是一把钥匙。这句话怎么理解呢?

  • 语言仅仅是一把钥匙而已。

  既然说是钥匙,就不是真正的宝藏,以为获得钥匙就一定能获得宝藏的想法是不足取的,我们需要认识到语言在数学学习中的有限性;语言并不能代替数学思考本身;

  • 语言是一把特制的钥匙。

  一把钥匙开一把锁,用来解释、理解数学问题的语言,和日常生活中的语言大相径庭,有很多需要我们特别注意的地方。

  如果我们单纯的认为,写写作文就一定能够提高孩子理解数学概念的能力,念念唐诗就可以一定可以改善他们读题和做应用题的水平,那是缘木求鱼,刻舟求剑。我们需要的,是一把特别为数学定制的“钥匙”——数学语言。

  语言钥匙所连接的,一头是现实问题,另一头是抽象的数学思考。

  需要特别注意的是,语言本身也是一种抽象符号,并且是线性的,而真实问题则是具象、立体的,孩子需要学会通过语言,从问题中还原真实情景,理解问题和条件各个部分的联系和结构,并进行数学式的思考,这样才使得数学解答成为可能。

  另一方面,孩子也需要学会从解释数学原理的抽象语言中还原真实问题和情景,举一反三,以深刻的理解概念。

  换一句话说:我们需要引导孩子,透过语言现象看到背后的问题实质,并将问题数学化。

  嗯,讲起来,感觉真的是很容易啊!

  自然语言和数学语言

  既然我们说,让我们的孩子认识数学,需要一把特别为数学定制的“钥匙”——数学语言。那问题来了:什么是数学语言?

  

  其实,数学语言是一种特别的语言形式,它是为了理解数量关系和空间形式而慢慢形成的。在数学语言中,除了我们日常经常使用的文字语言,还有日常不太用的符号语言和图形语言。

  这个问题如果真要展开讨论,冗长、枯燥而又无趣,所以我决定“以下省略五千字”,只讲一讲数学语言中的文字语言部分和我们平时讲话的核心差别。

  让我们来看两句话:

  “父亲一个是胖子,走过自然去要费事些。我本要来去的,他不肯,只好让去他。”

(《背影》,朱自清)

  大家看出有什么问题了吗?机智如你一定已经看出来了,在这两句话中,有很多颠倒的词序,但我们阅读时似乎没有任何障碍,都读懂了,很令人惊奇吧!再让我们看下面的几个词:

“捡到、小明、苹果、红”

  大家有没有发现,这些词无论怎么变换次序,我们都能够理解其中要表达的意思,这就是我们日常语言的特点,重视语义而非次序(我们的大脑会自动脑补)。

  但是,在我们用语言表达数学思想的时候,这招是行不通的。比如:“2与4的平方和”;“2与4和的平方”。虽然这两句话用的词完全一样,但是语序的不同导致了意思完全不同。这就是数学语言和自然生活语言的最大区别。

  在自然语言对句子的理解中,我们是首先通过语词本身的意思来进行解读,而句法的分析则是在需要证实和去除歧义的时候才启用的。但数学语言表达的特点,更多的是运用句法结构上的不同,去理解和表达数学关系、结构和变化,再根据结构关系,进行数学处理。

  所以,孩子通过语言理解数学才会如何的困难,因为从天性出发,孩子都是率先使用句子表面意义出发,而不是从句子结构去理解。

  脑科学的研究也证明了这个观点,刚才我们讲到的NeuroSpin中心的大脑研究中显示了一个细节,当我们处理数学命题时,脑部激活的区域与大脑BA44区域发生了交叠,而BA44区主要负责的内容就是语言的语法结构,这是数学思考中唯一从语言区调动的部位。

  因此,我们是否可以得出一个合理的推论:

  • 语序逻辑性显示了问题的核心本质结构,使得数学简化成为可能。对于语法的理解才是我们真正推动数学思考的核心。

  从这个角度说,我的小学数学老师讲学好语文才能学好数学,一点没错。只不过,哲学催生了数学和语言逻辑,它们才是天然的盟友。

  如何运用数学语言钥匙,帮助孩子开启数学宝库的大门

  说了这么多,估计这个话题才是大家真正感兴趣的。不好意思让大家久等了。

  先说下,什么是孩子在学习数学中,家长最大的困惑?

  • 一是孩子读不懂文字题;

  • 二是孩子不会看数学教科书;

  • 三是理解数学概念难上加难。

  怎么会造成这一局面的呢?这还得分两个层面来讲清楚。

  第一个原因:基础薄弱

  语言的认识规律,是从单音节词到双音节词,直至多音节词。从单个词到双词短句,直至到长句。这个过程是循序渐进的积累过程。但是我所遇到的大多数家庭,都不会有意识的在孩子早期语言萌芽时,主动帮助孩子积累逻辑性的词汇,这给孩子的数学语言发展带来很大的缺失。

  我们知道,概念的形成是伴随语言的发展而进行的,数学概念也是一样。在孩子的早期,我们应当鼓励孩子正确的使用概念词汇,以帮助他们发展数学语汇。

  比如说像下面的这些语词,就应该在学龄前完成和孩子的讨论,并让孩子搞清楚是什么意思。

  

  

  

  我见过一些家长,在教孩子概念词汇的时候,往往出现很多问题,比如在教有关比较的词汇,诸如大小,长短等等,会忘记体现相对性,一个劲地说:大,大的,大苹果。却不会把两个苹果放在一起,把大和小这两个词比较着一起教给孩子。这些情况还发生在方位等词汇上。这都需要我们引起注意。

  等到孩子上了小学,学校的语文课并没有把口语表达放在课程的主体地位,更没有单独的语言表达训练。加之中文的语言特点,属于象形文字,和英语等编码型语言相比,语言的逻辑性天然要差一些,这就使得孩子的语言逻辑能力更下一层楼。遇上数学中那些需要语言逻辑做基础的数学化语言,自然一脑袋浆糊。

  所以,如果我们希望改变孩子们数学语言理解能力弱的现状,我开的“药方”是:

  尽早完成基本词汇的逻辑含义探索

  这个上面已经讲了很多,就不再重复了。

  注重句式结构变化和背后的意义改变

  对家庭而言,我建议可以多用游戏的方式,来帮助孩子理解语言句序变化及其内涵改变。

  比如说:我们可以和孩子玩“倒装句”的游戏,来探索哪些句式改变后,内容是改变的,而怎样做是不改变的。还可以玩玩“咬文嚼字”的游戏,全家一起来辨析一下病句中的问题出在哪里,等等。

  善用提问机制,引导孩子探索数学内在结构和关系

  我想,大多数家长最近都经常听到“批判性思维”这个词,其实批判性思维的第一个模型是“苏格拉底方法”或“助产术”——苏格拉底所倡导的一种探究性质疑(probing questioning),也就是诘问式。通过连续的提问来揭示事物本质,来引发我们的思维。

  思维的本质是运动性的,陈述性的语言能将事物原貌很好的表达出来,但不能启动我们的思维。而提问,能够激发我们向真相进军,启动我们思考,数学的学习更是如此。

  关键是我们如何把一个大问题,分解成若干小问题,把一个大台阶凿成若干小台阶,帮助孩子一步一个台阶的,在数学阶梯上走的稳。

  第二个原因:对于数学语言的理解过于窄化

  其实讲到数学语言,有时候我们会发现,一些数学问题,光用文字语言很难说的清楚。文字语言的特征是通俗、易懂,但描述起来是线性的,数学思维隐藏在句法结构中,不容易表露,孩子也很难理解;

  刚才我们聊到了数学语言的三个组成部分:文字语言、符号语言和图形语言。

  数学符号虽然抽象,不易理解,但十分简洁,描述起来给人以结构感;图表语言比文字语言和一般符号语言更具直观性,容易形成表象。

  真正要让孩子全面深入的理解数学,光靠文字语言一项是远远不够的,需要符号和图形,甚至需要作为母语的自然语言配合,运用引申,比喻,解构等方式,帮助孩子理解抽象的数学想法。

  所以一种数学思想内容的表达常是数学符号语言、文字语言、图表语言和自然语言的优势互补和有机融合。

  

  在美国的儿童数学教育体系中,除了数学学科知识层面的学习,还包含数学思考过程的学习,并且把这一部分放到非常重要的地位。内容包括:

问题解决能力

推理与验证能力

交流能力

关联能力

表征能力

  对于上述的五种能力培养,在国内的数学教育同样是非常重视的,在教育纲要中也有类似的表述。其中推理验证、交流和表征这三项,跟孩子的数学语言能力和数学素养提高有着非常紧密的关系。

  那对于我们国内家长,如何运用这些理念来帮助孩子提高数学语言能力呢?

  首先说说推理证明

  推理证明的核心即归纳推理能力演绎推理能力,而数学能力的核心之一就是以推理证明为过程的逻辑思维能力。

  因此,我们可以在合适的时间,在家中安排一些类似家庭大讲堂的活动,让孩子在一个相对正式氛围里,阐述对一些数学问题的观点和看法,并对这些观点进行说明和论证,开始不需要推理做的非常严谨,但是需要鼓励孩子大胆的尝试。

  在这样的过程中,他们会不自觉的启动语言能力中的逻辑语序思考,提高他们对数学语言准确性、逻辑性、提高他们语言结构和数学本质结构的关联经验。

  另外,数学日记也是一个不错的办法,我就知道有一位家长,鼓励自己的女儿,开设微信公号,专门发表日常的数学思考,我想她的数学语言能力一定非常棒。

  其次是交流,交流就没有推理证明这么正式,关于数学思想的交流是随时可以展开的。既然说是交流,首当其冲的是倾听他人叙述,然后才是口头、书面等方法进行数学观点表达。

  在交流的过程中,我们的孩子需要解释自己的数学观点、解题过程、方法和结果,并适当的评价他人的数学观点。

  最后讲讲表征,"表征"这一概念的含义非常丰富。它既可以指人脑内部的心智活动的表现,又可以指思维活动的外在表现形式;它既可指表达数学关系的过程,又可指对数学关系的表现形式。

  在上面我们说道的数学语言中,表征往往更多的使用符号语言和图形语言来表达自己的数学思想。在另一篇文章中,我提到的新加坡数学的数学建模“Model-Drawing”,本质上也是数学表征的一种形式。

  除了上述的三种模式,我们还可以让孩子创编一些应用题,并以提高他们的数学语言能力。

  讲到这里,我们这次的闲聊也接近尾声了,最后想要吐个槽。前两天微信上看到有朋友转一道小学应用题,题目说:

  “小明有38颗大白兔奶糖,吃了28颗, 79颗阿尔卑斯糖吃了58颗,196颗棒棒糖吃了137根,请问他现在有什么?”

  孩子回答:“小明有糖尿病”。

  我想说,这么无聊的题目,是要有多贫瘠的语言和想象力,才能设计出来啊!

  所以除了数学本质的理解以外,文字上的美感和合理性,在一定程度上还是要注意的。这里贴两道古代的一元二次方程题,让我们体会一下数学和语言的双重美感。

  《希腊选集》第 14 卷是公元 500 年左右希腊学者米特洛多鲁斯(Metrodorus)所编的算术问题或谜语,都以诗歌写成。

丢番图墓志铭

“过路的人!

这儿埋葬着丢番图。

请计算下列数目,

便可知他一生经过了多少寒暑。

他一生的六分之一是幸福的童年,

十二分之一是无忧无虑的少年。

再过去七分之一的年程,

他建立了幸福的家庭。

五年后儿子出生,

不料儿子竟先其父四年而终,

只活到父亲岁数的一半。

晚年丧子老人真可怜,

悲痛之中度过了风烛残年。

请你算一算,丢番图活到多大,

才和死神见面?”

请你算一算,丢番图到底活到多少岁?

  另一计算寿命的问题是这样叙述的:

  旋转不停的黄道上的日、月和五星

  为你转出一幅神秘的天宫图

  你一生的六分之一

  与母亲相依为命把时光度

  接下来的八分之一

  被逼迫着给敌人做马牛

  后面的三分之一

  上帝保佑你平安地回到了故土

  你有了妻子和迟到的儿子

  每天的生活过得无忧无虑

  谁知不幸再次降临在你头上

  赛西亚人的长矛把妻儿的生命夺走

  整整二十七个冬夏春秋

  你那悲伤的眼泪不停的流

  命运之神如此残酷

  让你凄凉的走到生命的尽头

  请问这个悲惨的人生虚度多少年头?

  无独有偶,明代珠算大师程大位在《直指算法统宗》中,也用《西江月》给出一道关于勾股定理的诗:

平地秋千未起,踏板一尺离地。

送行二步与人齐,五尺人高曾记。

仕女佳人争蹴,终朝笑话欢戏。

良工高师请言之,借问索长有几。


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